Ramps

---

Translation ongoing!

Since millenia, ramps are a common mechanical element. Man early found out that it is easier to haul a load alongside a ramp instead of lifting it vertically. Although less force is necessary, the distance on which it must be applied is longer. The connection between force and distance remained unclear until the begin of the Renaissance. In the fifteenth century artist-engineers and mathematicians-astronomers were the first who made a detailled analysis of this apparently simple construction element. Until that time - and even today, there are misconceptions about ramps.

Leonardo's Ramp

It is always a good idea to check if Leonardo da Vinci had made any comments about the particular mechanical topic which is discussed. In fact, Leonardo made in his notebook Sul volo degli uccelli ("About the birds' flight") drawings which show how forces act onto ramps of different steepness. Thus Leonardo came pretty close to Stevin's analysis, although he had a different application in mind.

Stevin's Ramp

Simon Stevin's (1548-1620) analysis of the ramp is regarded as a first important milestone on the way to the modern energy principle. Stevin decided to analyze a ramp with two different slopes and an endless chain. Did Stevin challenge the proof of the impossibility of a PMM as literature frequently cites his ideas? We shall briefly look at his concept here .

Stevin's starting point were some plauble assumptions, which he took as axioms for his analysis:

1. Kräfte lassen sich um die Kanten der schiefen Ebene umleiten
2. Der untere Teil der Kette hängt symmetrisch
3. Ein Perpetuum Mobile dieser Art ist unmöglich

Annahmen sind vollkomen legitim, wenn es darum geht, eine neue Theorie zu entwickeln. Ebenso hätten andere Annahmen als Axiome dienen können, aber Stevin entschloß sich für diese, nicht zuletzt wohl deshalb, weil sie einfach und plausibel sind - ein Motiv, das später von Galileo Galilei zum Teil der Methode erhoben wurde.

Aus der Symmetrie konnte Stevin schließen, daß rechts und links an der Kette die Kraft f₁ angreift. Für die weitere Betrachtung ist deshalb der untere, bogenförmige Teil der Kette verzichtbar. Die beiden Kräfte f₂ und f₃ müssen für sich allein das Gleichgewicht der Kette bewirken, folglich gleich sein. Damit läßt sich ermitteln, wie die Neigung der Ebene die an einer Masse angreifende Kraft beeinflußt.

***Bild***
Die Massen der Teilketten sind als Einzelmassen
zusammengefaßt und idealisiert

Dies deckt sich mit der modernen Auffasung des Superpositionsprinzips, das davon ausgeht, daß Kräfte vektoriell addiert werden können und daß für einen Körper im statischen Gleichgewicht die vektorielle Summe aller an ihm angreifenden Kräfte Null sein muß.

Vektorielle Addition der Kräfte

Wie die vektorielle Betrachtung der Kräfte zeigt, resultieren aus der senkrecht nach unten wirkenden Gewichtskraft F_g des Körpers

• eine Hangabtriebskraft F_H, die parallel zur Steigung der Ebene verläuft
• und eine Normalkraft F_N, die den Körper auf die Unterlage drückt

Es gilt:

Was bleibt als Fazit? Stevin kam zu einer Theorie der Kräfte, die auf Körper wirken, wenn sie auf eine schiefen Ebene liegen. Doch Stevin bewies nicht die Unmöglichkeit eines Perpetuum Mobile, sondern er nahm sie als Axiom an, um seine Theorie zu entwickeln.

Galileo's Ramp

Stevin started with a static analysis of forces acting on objects in equlibrum. Galileo Galilei (15.Feb.1564 - 8.Jan.1642) introduced a dynamic view in order to win conclusions on accelerated objects in free fall.

We should have closer look at Galileo Galilei's method to check the way, how objects fall to earth. Galileo frankly states that he had no laboratory method to measure the short time intervals. So he needed an idea to slow down the speed of falling objects into a region available to his methods. One could imagine to let an object sink in a liquid of high density. This would lead to nothing, as an object sinking in water or honey would find a final speed soon, a speed which is determined by the equilibrum of the force pointing downwards and the friction that works on the object. In order to stretch the time, Galileo constructed a ramp in which he let metal balls roll down. Thus Galileo follwed his motto "measure the measurable, make measurable which is not measurable!" He describes his method in this way:

"Bei der Untersuchung der natürlichen beschleunigten Bewegung ließen wir uns von den Gewohnheiten der Natur selbst leiten, die uns in all ihren verschiedenen Prozessen lehrt, nur die allgemeinsten, einfachsten und leichtesten Mittel anzuwenden" (Kuhn, Physik III B, Mechanik, S.94) "Ich habe auf die folgende Weise versucht, mir Gewißheit zu verschaffen (über) die Beschleunigung, wie sie tatsächlich bei fallenden Körpern auftritt. [...] Zuerst wurde ein Brett oder Balken aus Holz ausgesucht, ungefähr zwölf Ellen lang, eine halbe Elle breit und drei Fingerbreit dick; sodann wurde in die Oberseite eine Rinne von wenig mehr als einem Finger Durchmesser gegraben; nachdem wir diese Hohlrinne ganz gerade gezogen und glatt poliert und sie mit Pergament ausgelegt hatten, das gleichfalls so glatt und poliert wie möglich war, ließen wir in ihr eine feste, glatte und vollkommen runde Bronzekugel rollen. Nachdem wir das Brett in eine abfallende Lage gebracht hatten, [...] ließen wir die Kugel die Rinne entlangrollen und maßen dabei [...] die Zeit, die sie zum Hinabrollen brauchte. Dieses Experiment wiederholten wir mehrere Male, um die Zeit so genau zu messen, daß die Abweichung zwischen zwei Beobachtunngen nie mehr als das Zehntel eines Pulsschlages betrug. Nachdem wir diese Operation ausgeführt und uns von ihrer Zuverlässigkeit überzeugt hatten, ließen wir beim nächsten Mal die Kugel nur ein Viertel der Länge der Rinne hinabrollen; und als wir dann die Zeit für das Hinabrollen maßen, sahen wir, daß sie genau die Hälfte der zuvor gemessenen betrug. Sodann machten wir den Versuch mit andren Entfernungen, wobei wir die Zeit für die ganze Länge mit der für die Hälfte, mit der für zwei Drittel, für drei Viertel, kurz für alle möglichen Bruchteile der Länge der Rinne vergleichen; und bei all diesen Experimenten, die wir wohl hundert Mal und öfter wiederholten, stellten wir fest, daß die die zurückgelegten Strecken sich zueinander verhielten wie die Quadrate der betreffenden Zeiten, und dies traf zu für jedes Gefälle der Ebene, d.h. der Rinne, in der wir die Kugel entlangrollen ließen. Wir stellten auch fest, daß die Zeiten für das Hinabrollen bei verschiedenem Gefälle in einem Verhältnis zueinander standen, das [...] der Experimentator vorausgesagt und demonstriert hatte." (Kearney, Und es entstand ein neues Weltbild, S. 68f.)

There are a few remarkable points which show us how Galileo approached the task.

1. He first developed a theory based on known facts. He came to the conclusion that the current theory was not suitable to describe the behaviour of falling objects.
2. Galileo then developed an experiment to check his theory. He made the setup to the best precision he could achieve with his skills, in order to exclude unwanted effects by mechanical inaccuracies.
3. He performed the experiment many times to find the typical case.

x